सोडोवचें (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

x खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

सोडोवणी पांवडे

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

9x^{2}-12x+4 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

-49x^{2} मेळोवंक -9x^{2} आनी -40x^{2} एकठांय करचें.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

दोनूय वटांनी 205 जोडचे.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

201 मेळोवंक -4 आनी 205 ची बेरीज करची.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

7-3x न -5x गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून -35x+15x^{2} क 7+3x न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

-229x मेळोवंक 16x आनी -245x एकठांय करचें.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

-45x^{2} मेळोवंक 4x^{2} आनी -49x^{2} एकठांय करचें.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

-217x मेळोवंक -229x आनी 12x एकठांय करचें.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

217 मेळोवंक 16 आनी 201 ची बेरीज करची.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

प्रमाणित पद्दतीन घेवंक समिकरण परतून मांडचें. सामके व्हड ते सामके ल्हान पॉवर अशा क्रमान संज्ञा मांडच्यो.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

रॅशनल रूट थियरम प्रमाणें, पोलिनोमियलाचे सगळे रॅशनल रुट्स मुखावयल्या स्वरुपात आसतात \frac{p}{q}, जंय p थीर संज्ञेक भाग लायता 217 आनी q भागता पुरक 45. सगळे उमेदवारांची सुची \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

सगळीं पूर्णांक मोलां यत्न करून तसो एक मूळ सोदून काडचो, ल्हानातल्यान सुरू करूंन निव्वळ शून्य. पूर्णांक मुळां मेळूंक नासल्यार परत यत्न करचो.

$$x=1$$

फॅक्टर थियरमा प्रमाणें, x-k दरेक रूट खातीर पोलिनोमियल फॅक्टर करात k. 45x^{2}-217 मेळोवंक 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 क x-1 न भाग लावचो. समिकरण सोडोवंक, निकाल हाचे समान 0.

$$45x^{2}-217=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक फॉर्मूला वापरून सोडोवंक शकतात: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. क्वॉड्रेटिक फॉर्मूलात a च्या सुवातेर 45 घेवचो, b खातीर 0, आनी c खातीर -217 घेवचो.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

मेजणी करची.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

जेन्ना ± हो अदीक आनी जेन्ना ± वजा आसता तेन्ना 45x^{2}-217=0 समिकरण सोडोवचें.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

सगळीं समाधानां प्राप्त सुची.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$