सोडोवचें (2k+5)^2-40>0

$$( 2 k + 5 ) ^ { 2 } - 40 > 0$$

k खातीर सोडोवचें

$$k\in \left(-\infty,-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\cup \left(\sqrt{10}-\frac{5}{2},\infty\right)$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(2k+5\right)^{2}.

$$4k^{2}+20k+25-40>0$$

-15 मेळोवंक 25 आनी 40 वजा करचे.

$$4k^{2}+20k-15>0$$

असमानताय सोडोवंक, दावी कूस फॅक्टर करची. क्वॉड्रेटिक पोलिनोमियल ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) हें ट्रांसफोर्मेशन वापरून फॅक्टर्ड करूंक शकतात, जंय x_{1} आनी x_{2} हीं ax^{2}+bx+c=0.क्वॉड्रेटिक समीकरणाचीं समाधानां आसतात.

$$4k^{2}+20k-15=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक फॉर्मूला वापरून सोडोवंक शकतात: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. क्वॉड्रेटिक फॉर्मूलात a च्या सुवातेर 4 घेवचो, b खातीर 20, आनी c खातीर -15 घेवचो.

$$k=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

मेजणी करची.

$$k=\frac{-20±8\sqrt{10}}{8}$$

जेन्ना ± हो अदीक आनी जेन्ना ± वजा आसता तेन्ना k=\frac{-20±8\sqrt{10}}{8} समिकरण सोडोवचें.

$$k=\sqrt{10}-\frac{5}{2} k=-\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

प्राप्त समाधान वापरून असमानताय परत बरोवची.

$$4\left(k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\right)\left(k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\right)>0$$

प्रोडक्ट पोझिटिव उरपा खातीर, k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) आनी k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) दोनूय नेगेटिव वा दोनूय पोझिटिव आसूंक जाय. जेन्ना k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) आनी k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) दोनूय नेगेटिव आसतात तेन्नाचें प्रकरण विचारांत घेवचें.

$$k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)<0 k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)<0$$

दोनूय असमानतायांचें समाधान करपी उत्तर k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2} आसा.

$$k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

जेन्ना k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) आनी k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) दोनूय पोझिटिव आसतात तेन्नाचें प्रकरण विचारांत घेवचें.

$$k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)>0 k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)>0$$

दोनूय असमानतायांचें समाधान करपी उत्तर k>\sqrt{10}-\frac{5}{2} आसा.

$$k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

प्राप्त समाधानाचें संयुक्त हें निमाणें समाधान आसा.

$$k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\text{; }k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$