सोडोवचें {l}{4x-y=-14}{3x-y=-11}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 x - y = - 14 } \\ { 3 x - y = - 11 } \end{array} \right\}$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-y=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$4x=y-14$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-14\right)$$

y-14क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}$$

3x-y=-11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{4}-\frac{7}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}\right)-y=-11$$

\frac{y}{4}-\frac{7}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{3}{4}y-\frac{21}{2}-y=-11$$

-y कडेन \frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{4}y-\frac{21}{2}=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{21}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

दोनूय कुशीनीं -4 न गुणचें.

$$y=2$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

2क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1-7}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{2} क -\frac{7}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-11\right)\\3\left(-14\right)-4\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x-y=-14 तल्यान 3x-y=-11 वजा करचो.

$$4x-3x-y+y=-14+11$$

y कडेन -y ची बेरीज करची. अटी -y आनी y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4x-3x=-14+11$$

-3x कडेन 4x ची बेरीज करची.

$$x=-14+11$$

11 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$x=-3$$

3x-y=-11 त x खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3\left(-3\right)-y=-11$$

-3क 3 फावटी गुणचें.

$$-9-y=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$-y=-2$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=2$$