सोडोवचें {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 5 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$27+4y=-4x+3$$

दोनूय वटांनी 4x जोडचे.

$$27+4y+4x=3$$

दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$4y+4x=3-27$$

-24 मेळोवंक 3 आनी 27 वजा करचे.

$$4y+4x=-24$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 3y जोडचे.

$$8x+3y=-8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$4y+4x=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$4y=-4x-24$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

-4x-24क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$y=-x-6$$

3y+8x=-8 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -x-6 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

-x-6क 3 फावटी गुणचें.

$$-3x-18+8x=-8$$

8x कडेन -3x ची बेरीज करची.

$$5x-18=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 ची बेरीज करची.

$$5x=10$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=2$$

y=-x-6 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-2-6$$

-2 कडेन -6 ची बेरीज करची.

$$y=-8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-8,x=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 5 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$27+4y=-4x+3$$

दोनूय वटांनी 4x जोडचे.

$$27+4y+4x=3$$

दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$4y+4x=3-27$$

-24 मेळोवंक 3 आनी 27 वजा करचे.

$$4y+4x=-24$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 3y जोडचे.

$$8x+3y=-8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-8,x=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 5 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$27+4y=-4x+3$$

दोनूय वटांनी 4x जोडचे.

$$27+4y+4x=3$$

दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$4y+4x=3-27$$

-24 मेळोवंक 3 आनी 27 वजा करचे.

$$4y+4x=-24$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 3y जोडचे.

$$8x+3y=-8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y आनी 3y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

सोंपें करचें.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12y+12x=-72 तल्यान 12y+32x=-32 वजा करचो.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

-12y कडेन 12y ची बेरीज करची. अटी 12y आनी -12y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12x-32x=-72+32$$

-32x कडेन 12x ची बेरीज करची.

$$-20x=-72+32$$

32 कडेन -72 ची बेरीज करची.

$$-20x=-40$$

दोनुय कुशींक -20 न भाग लावचो.

$$x=2$$

3y+8x=-8 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3y+8\times 2=-8$$

2क 8 फावटी गुणचें.

$$3y+16=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 वजा करचें.

$$3y=-24$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=-8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-8,x=2$$