सोडोवचें {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 1+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 मेळोवंक 3 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$x+2y=4+3y$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x+2y-3y=4$$

-y मेळोवंक 2y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 1-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8-y=2-2y+3x$$

दोनूय वटांनी 2y जोडचे.

$$8-y+2y=2+3x$$

y मेळोवंक -y आनी 2y एकठांय करचें.

$$8+y=2+3x$$

दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$8+y-3x=2$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$y-3x=2-8$$

-6 मेळोवंक 2 आनी 8 वजा करचे.

$$y-3x=-6$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$x=y+4$$

-3x+y=-6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+4 बदलपी घेवचो.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

y+4क -3 फावटी गुणचें.

$$-3y-12+y=-6$$

y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-2y-12=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$-2y=6$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

x=y+4 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-3+4$$

-3 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 1+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 मेळोवंक 3 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$x+2y=4+3y$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x+2y-3y=4$$

-y मेळोवंक 2y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 1-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8-y=2-2y+3x$$

दोनूय वटांनी 2y जोडचे.

$$8-y+2y=2+3x$$

y मेळोवंक -y आनी 2y एकठांय करचें.

$$8+y=2+3x$$

दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$8+y-3x=2$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$y-3x=2-8$$

-6 मेळोवंक 2 आनी 8 वजा करचे.

$$y-3x=-6$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 1+y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 मेळोवंक 3 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$x+2y=4+3y$$

दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x+2y-3y=4$$

-y मेळोवंक 2y आनी -3y एकठांय करचें.

$$x-y=4$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 1-y न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$8-y=2-2y+3x$$

दोनूय वटांनी 2y जोडचे.

$$8-y+2y=2+3x$$

y मेळोवंक -y आनी 2y एकठांय करचें.

$$8+y=2+3x$$

दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$8+y-3x=2$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$y-3x=2-8$$

-6 मेळोवंक 2 आनी 8 वजा करचे.

$$y-3x=-6$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

सोंपें करचें.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3x+3y=-12 तल्यान -3x+y=-6 वजा करचो.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

3x कडेन -3x ची बेरीज करची. अटी -3x आनी 3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-y=-12+6$$

-y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$2y=-12+6$$

6 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$2y=-6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

-3x+y=-6 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x-3=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$-3x=-3$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-3$$