सोडोवचें {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-4y=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$5x=4y-7$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

4y-7क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

-6x+8y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{4y-7}{5} बदलपी घेवचो.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

\frac{4y-7}{5}क -6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

8y कडेन -\frac{24y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{42}{5} वजा करचें.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

\frac{16}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-2$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

-2क \frac{4}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{8}{5} क -\frac{7}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

5x आनी -6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

सोंपें करचें.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -30x+24y=42 तल्यान -30x+40y=10 वजा करचो.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

30x कडेन -30x ची बेरीज करची. अटी -30x आनी 30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y-40y=42-10$$

-40y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$-16y=42-10$$

-10 कडेन 42 ची बेरीज करची.

$$-16y=32$$

दोनुय कुशींक -16 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-6x+8y=2 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

-2क 8 फावटी गुणचें.

$$-6x-16=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 ची बेरीज करची.

$$-6x=18$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=-2$$