सोडोवचें {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$2x=y+4$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

y+4क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

-x+y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{2}+2 बदलपी घेवचो.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

\frac{y}{2}+2क -1 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

y कडेन -\frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}y=5$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$y=10$$

x=\frac{1}{2}y+2 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=5+2$$

5 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

2x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

सोंपें करचें.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x+y=-4 तल्यान -2x+2y=6 वजा करचो.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-2y=-4-6$$

-2y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-y=-4-6$$

-6 कडेन -4 ची बेरीज करची.

$$-y=-10$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=10$$

-x+y=3 त y खातीर 10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x+10=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$-x=-7$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=10$$