सोडोवचें {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$12x-4y=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$12x=4y-4$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

-4+4yक \frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

3x+8y=17 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-1+y}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

\frac{-1+y}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$y-1+8y=17$$

8y कडेन y ची बेरीज करची.

$$9y-1=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$9y=18$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

2क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{2}{3} क -\frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

12x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न गुणचें.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

सोंपें करचें.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 36x-12y=-12 तल्यान 36x+96y=204 वजा करचो.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

-36x कडेन 36x ची बेरीज करची. अटी 36x आनी -36x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y-96y=-12-204$$

-96y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-108y=-12-204$$

-204 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$-108y=-216$$

दोनुय कुशींक -108 न भाग लावचो.

$$y=2$$

3x+8y=17 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+8\times 2=17$$

2क 8 फावटी गुणचें.

$$3x+16=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 वजा करचें.

$$3x=1$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$