सोडोवचें {l}{10x-3y=27}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x - 3 y = 27 }\\{ 4 x + y = 2 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$10x-3y=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$10x=3y+27$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{10}\left(3y+27\right)$$

27+3yक \frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}$$

4x+y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{27+3y}{10} बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}\right)+y=2$$

\frac{27+3y}{10}क 4 फावटी गुणचें.

$$\frac{6}{5}y+\frac{54}{5}+y=2$$

y कडेन \frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{5}y+\frac{54}{5}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{54}{5} वजा करचें.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{44}{5}$$

\frac{11}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10} त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{10}\left(-4\right)+\frac{27}{10}$$

-4क \frac{3}{10} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{6}{5}+\frac{27}{10}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{6}{5} क \frac{27}{10} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{10-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{10-\left(-3\times 4\right)}&\frac{10}{10-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 27+\frac{3}{22}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 27+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

10x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न गुणचें.

$$4\times 10x+4\left(-3\right)y=4\times 27,10\times 4x+10y=10\times 2$$

सोंपें करचें.

$$40x-12y=108,40x+10y=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 40x-12y=108 तल्यान 40x+10y=20 वजा करचो.

$$40x-40x-12y-10y=108-20$$

-40x कडेन 40x ची बेरीज करची. अटी 40x आनी -40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y-10y=108-20$$

-10y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-22y=108-20$$

-20 कडेन 108 ची बेरीज करची.

$$-22y=88$$

दोनुय कुशींक -22 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

4x+y=2 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-4=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$4x=6$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$