सोडोवचें {l}{-2x-3y=7}{-13x+20y=322}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 2 x - 3 y = 7 }\\{ - 13 x + 20 y = 322 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-14$$

$$y=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x-3y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$-2x=3y+7$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y+7\right)$$

3y+7क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}$$

-13x+20y=322 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-7}{2} बदलपी घेवचो.

$$-13\left(-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}\right)+20y=322$$

\frac{-3y-7}{2}क -13 फावटी गुणचें.

$$\frac{39}{2}y+\frac{91}{2}+20y=322$$

20y कडेन \frac{39y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{79}{2}y+\frac{91}{2}=322$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{91}{2} वजा करचें.

$$\frac{79}{2}y=\frac{553}{2}$$

\frac{79}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=7$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2} त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7-\frac{7}{2}$$

7क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-21-7}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{21}{2} क -\frac{7}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-14$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-14,y=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{-3}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\\-\frac{-13}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{2}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}&-\frac{3}{79}\\-\frac{13}{79}&\frac{2}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}\times 7-\frac{3}{79}\times 322\\-\frac{13}{79}\times 7+\frac{2}{79}\times 322\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-14,y=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

-2x आनी -13x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -13 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$-13\left(-2\right)x-13\left(-3\right)y=-13\times 7,-2\left(-13\right)x-2\times 20y=-2\times 322$$

सोंपें करचें.

$$26x+39y=-91,26x-40y=-644$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 26x+39y=-91 तल्यान 26x-40y=-644 वजा करचो.

$$26x-26x+39y+40y=-91+644$$

-26x कडेन 26x ची बेरीज करची. अटी 26x आनी -26x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$39y+40y=-91+644$$

40y कडेन 39y ची बेरीज करची.

$$79y=-91+644$$

644 कडेन -91 ची बेरीज करची.

$$79y=553$$

दोनुय कुशींक 79 न भाग लावचो.

$$y=7$$

-13x+20y=322 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-13x+20\times 7=322$$

7क 20 फावटी गुणचें.

$$-13x+140=322$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 140 वजा करचें.

$$-13x=182$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$x=-14$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-14,y=7$$