सोडोवचें {l}{text{(i)}px+qy=p-q}{qx-py=p+q}

$$\left. \begin{array}{l}{ \text { (i) } p x + q y = p - q }\\{ q x - p y = p + q }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}x=1\text{, }y=-1\text{, }&q\neq 0\text{ or }p\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&p=0\text{ and }q=0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$px+qy=p-q,qx+\left(-p\right)y=p+q$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$px+qy=p-q$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान qy वजा करचें.

$$px=\left(-q\right)y+p-q$$

दोनुय कुशींक p न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{p}\left(\left(-q\right)y+p-q\right)$$

-qy+p-qक \frac{1}{p} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{q}{p}\right)y+\frac{p-q}{p}$$

qx+\left(-p\right)y=p+q ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-qy+p-q}{p} बदलपी घेवचो.

$$q\left(\left(-\frac{q}{p}\right)y+\frac{p-q}{p}\right)+\left(-p\right)y=p+q$$

\frac{-qy+p-q}{p}क q फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{q^{2}}{p}\right)y+\frac{q\left(p-q\right)}{p}+\left(-p\right)y=p+q$$

-py कडेन -\frac{q^{2}y}{p} ची बेरीज करची.

$$\left(-\frac{q^{2}}{p}-p\right)y+\frac{q\left(p-q\right)}{p}=p+q$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{q\left(p-q\right)}{p} वजा करचें.

$$\left(-\frac{q^{2}}{p}-p\right)y=\frac{q^{2}}{p}+p$$

दोनुय कुशींक -\frac{q^{2}}{p}-p न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=\left(-\frac{q}{p}\right)y+\frac{p-q}{p} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{q}{p}\right)\left(-1\right)+\frac{p-q}{p}$$

-1क -\frac{q}{p} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{q+p-q}{p}$$

\frac{q}{p} कडेन \frac{p-q}{p} ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$px+qy=p-q,qx+\left(-p\right)y=p+q$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{p}{p\left(-p\right)-qq}&-\frac{q}{p\left(-p\right)-qq}\\-\frac{q}{p\left(-p\right)-qq}&\frac{p}{p\left(-p\right)-qq}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}+q^{2}}&\frac{q}{p^{2}+q^{2}}\\\frac{q}{p^{2}+q^{2}}&-\frac{p}{p^{2}+q^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}+q^{2}}\left(p-q\right)+\frac{q}{p^{2}+q^{2}}\left(p+q\right)\\\frac{q}{p^{2}+q^{2}}\left(p-q\right)+\left(-\frac{p}{p^{2}+q^{2}}\right)\left(p+q\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$px+qy=p-q,qx+\left(-p\right)y=p+q$$

px आनी qx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक q न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक p न गुणचें.

$$qpx+qqy=q\left(p-q\right),pqx+p\left(-p\right)y=p\left(p+q\right)$$

सोंपें करचें.

$$pqx+q^{2}y=q\left(p-q\right),pqx+\left(-p^{2}\right)y=p\left(p+q\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून pqx+q^{2}y=q\left(p-q\right) तल्यान pqx+\left(-p^{2}\right)y=p\left(p+q\right) वजा करचो.

$$pqx+\left(-pq\right)x+q^{2}y+p^{2}y=q\left(p-q\right)-p\left(p+q\right)$$

-qpx कडेन qpx ची बेरीज करची. अटी qpx आनी -qpx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$q^{2}y+p^{2}y=q\left(p-q\right)-p\left(p+q\right)$$

p^{2}y कडेन q^{2}y ची बेरीज करची.

$$\left(p^{2}+q^{2}\right)y=q\left(p-q\right)-p\left(p+q\right)$$

-p\left(p+q\right) कडेन q\left(p-q\right) ची बेरीज करची.

$$\left(p^{2}+q^{2}\right)y=-p^{2}-q^{2}$$

दोनुय कुशींक q^{2}+p^{2} न भाग लावचो.

$$y=-1$$

qx+\left(-p\right)y=p+q त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$qx+\left(-p\right)\left(-1\right)=p+q$$

-1क -p फावटी गुणचें.

$$qx+p=p+q$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान p वजा करचें.

$$qx=q$$

दोनुय कुशींक q न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-1$$