सोडोवचें {r}{x-7y=-11}{5x+2y=-18}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 7 y = - 11 } \\ { 5 x + 2 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-7y=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y ची बेरीज करची.

$$x=7y-11$$

5x+2y=-18 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 7y-11 बदलपी घेवचो.

$$5\left(7y-11\right)+2y=-18$$

7y-11क 5 फावटी गुणचें.

$$35y-55+2y=-18$$

2y कडेन 35y ची बेरीज करची.

$$37y-55=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 55 ची बेरीज करची.

$$37y=37$$

दोनुय कुशींक 37 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x=7y-11 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=7-11$$

7 कडेन -11 ची बेरीज करची.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{2-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&\frac{7}{37}\\-\frac{5}{37}&\frac{1}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\left(-11\right)+\frac{7}{37}\left(-18\right)\\-\frac{5}{37}\left(-11\right)+\frac{1}{37}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\left(-11\right),5x+2y=-18$$

सोंपें करचें.

$$5x-35y=-55,5x+2y=-18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x-35y=-55 तल्यान 5x+2y=-18 वजा करचो.

$$5x-5x-35y-2y=-55+18$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-35y-2y=-55+18$$

-2y कडेन -35y ची बेरीज करची.

$$-37y=-55+18$$

18 कडेन -55 ची बेरीज करची.

$$-37y=-37$$

दोनुय कुशींक -37 न भाग लावचो.

$$y=1$$

5x+2y=-18 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+2=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$5x=-20$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=1$$