सोडोवचें {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=-5$$

$$b=25$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$a+b=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$a=-b+20$$

6a+2b=20 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर -b+20 बदलपी घेवचो.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

-b+20क 6 फावटी गुणचें.

$$-6b+120+2b=20$$

2b कडेन -6b ची बेरीज करची.

$$-4b+120=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 120 वजा करचें.

$$-4b=-100$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$b=25$$

a=-b+20 त b खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-25+20$$

-25 कडेन 20 ची बेरीज करची.

$$a=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-5,b=25$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-5,b=25$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

a आनी 6a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

सोंपें करचें.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6a+6b=120 तल्यान 6a+2b=20 वजा करचो.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

-6a कडेन 6a ची बेरीज करची. अटी 6a आनी -6a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6b-2b=120-20$$

-2b कडेन 6b ची बेरीज करची.

$$4b=120-20$$

-20 कडेन 120 ची बेरीज करची.

$$4b=100$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$b=25$$

6a+2b=20 त b खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6a+2\times 25=20$$

25क 2 फावटी गुणचें.

$$6a+50=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 वजा करचें.

$$6a=-30$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$a=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-5,b=25$$