सोडोवचें {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x+2y=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$7x=-2y+24$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

-2y+24क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

-8x+2y=-30 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+24}{7} बदलपी घेवचो.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

\frac{-2y+24}{7}क -8 फावटी गुणचें.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

2y कडेन \frac{16y}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{192}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

\frac{30}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} त y खातीर -\frac{3}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3}{5} क -\frac{2}{7} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{6}{35} क \frac{24}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{18}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 7x+2y=24 तल्यान -8x+2y=-30 वजा करचो.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

-2y कडेन 2y ची बेरीज करची. अटी 2y आनी -2y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$7x+8x=24+30$$

8x कडेन 7x ची बेरीज करची.

$$15x=24+30$$

30 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$15x=54$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$x=\frac{18}{5}$$

-8x+2y=-30 त x खातीर \frac{18}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

\frac{18}{5}क -8 फावटी गुणचें.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{144}{5} ची बेरीज करची.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$