सोडोवचें {r}{5m+6n=-44}{10m+5n=-60}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 m + 6 n = - 44 } \\ { 10 m + 5 n = - 60 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=-4$$

$$n=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5m+6n=-44,10m+5n=-60$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$5m+6n=-44$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6n वजा करचें.

$$5m=-6n-44$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{5}\left(-6n-44\right)$$

-6n-44क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$m=-\frac{6}{5}n-\frac{44}{5}$$

10m+5n=-60 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{-6n-44}{5} बदलपी घेवचो.

$$10\left(-\frac{6}{5}n-\frac{44}{5}\right)+5n=-60$$

\frac{-6n-44}{5}क 10 फावटी गुणचें.

$$-12n-88+5n=-60$$

5n कडेन -12n ची बेरीज करची.

$$-7n-88=-60$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 88 ची बेरीज करची.

$$-7n=28$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$n=-4$$

m=-\frac{6}{5}n-\frac{44}{5} त n खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=-\frac{6}{5}\left(-4\right)-\frac{44}{5}$$

-4क -\frac{6}{5} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{24-44}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{24}{5} क -\frac{44}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-4,n=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5m+6n=-44,10m+5n=-60$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 10}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 10}\\-\frac{10}{5\times 5-6\times 10}&\frac{5}{5\times 5-6\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{6}{35}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-44\right)+\frac{6}{35}\left(-60\right)\\\frac{2}{7}\left(-44\right)-\frac{1}{7}\left(-60\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=-4,n=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5m+6n=-44,10m+5n=-60$$

5m आनी 10m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$10\times 5m+10\times 6n=10\left(-44\right),5\times 10m+5\times 5n=5\left(-60\right)$$

सोंपें करचें.

$$50m+60n=-440,50m+25n=-300$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 50m+60n=-440 तल्यान 50m+25n=-300 वजा करचो.

$$50m-50m+60n-25n=-440+300$$

-50m कडेन 50m ची बेरीज करची. अटी 50m आनी -50m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$60n-25n=-440+300$$

-25n कडेन 60n ची बेरीज करची.

$$35n=-440+300$$

300 कडेन -440 ची बेरीज करची.

$$35n=-140$$

दोनुय कुशींक 35 न भाग लावचो.

$$n=-4$$

10m+5n=-60 त n खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$10m+5\left(-4\right)=-60$$

-4क 5 फावटी गुणचें.

$$10m-20=-60$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 ची बेरीज करची.

$$10m=-40$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$m=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-4,n=-4$$