सोडोवचें {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$12x+3y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$12x=-3y+5$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5क \frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

3x+2y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

-\frac{y}{4}+\frac{5}{12}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

2y कडेन -\frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{4} वजा करचें.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

\frac{5}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{23}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} त y खातीर \frac{23}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{23}{5} क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{23}{20} क \frac{5}{12} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{11}{15}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

12x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न गुणचें.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

सोंपें करचें.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 36x+9y=15 तल्यान 36x+24y=84 वजा करचो.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

-36x कडेन 36x ची बेरीज करची. अटी 36x आनी -36x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-24y=15-84$$

-24y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$-15y=15-84$$

-84 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-15y=-69$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{23}{5}$$

3x+2y=7 त y खातीर \frac{23}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

\frac{23}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{46}{5} वजा करचें.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{11}{15}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$