सोडोवचें {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{9}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{x}{3} ची बेरीज करची.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

y-\frac{1}{9}x=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{x}{3}+6 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

-\frac{x}{9} कडेन \frac{x}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

\frac{2}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-\frac{63}{2}$$

y=\frac{1}{3}x+6 त x खातीर -\frac{63}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{63}{2} क \frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

-\frac{21}{2} कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$y=-\frac{9}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{9}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{9}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून y-\frac{1}{3}x=6 तल्यान y-\frac{1}{9}x=-1 वजा करचो.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

\frac{x}{9} कडेन -\frac{x}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

1 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

-\frac{2}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-\frac{63}{2}$$

y-\frac{1}{9}x=-1 त x खातीर -\frac{63}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{63}{2} क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{2} वजा करचें.

$$y=-\frac{9}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$