सोडोवचें {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{x}{3} ची बेरीज करची.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

y-\frac{4}{3}x=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{x}{3}+1 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

-\frac{4x}{3} कडेन \frac{x}{3} ची बेरीज करची.

$$-x+1=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$-x=-3$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=3$$

y=\frac{1}{3}x+1 त x खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

3क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$y=1+1$$

1 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$y=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=2,x=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=2,x=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{3}x वजा करचें.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून y-\frac{1}{3}x=1 तल्यान y-\frac{4}{3}x=-2 वजा करचो.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

\frac{4x}{3} कडेन -\frac{x}{3} ची बेरीज करची.

$$x=1+2$$

2 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=3$$

y-\frac{4}{3}x=-2 त x खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

3क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$y-4=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$y=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=2,x=3$$