सोडोवचें {l}{y+x+3=9}{2y-x-5=15}

$$\left. \begin{array} { l } { y + x + 3 = 9 } \\ { 2 y - x - 5 = 15 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$y = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} \approx 8.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y+x+3=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$y+x=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y=-x+6$$

2y-x-5=15 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -x+6 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-x+6\right)-x-5=15$$

-x+6क 2 फावटी गुणचें.

$$-2x+12-x-5=15$$

-x कडेन -2x ची बेरीज करची.

$$-3x+12-5=15$$

-5 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$-3x+7=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 वजा करचें.

$$-3x=8$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{8}{3}$$

y=-x+6 त x खातीर -\frac{8}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\left(-\frac{8}{3}\right)+6$$

-\frac{8}{3}क -1 फावटी गुणचें.

$$y=\frac{8}{3}+6$$

\frac{8}{3} कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$y=\frac{26}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{3}\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y+x+3=9,2y-x-5=15$$

y आनी 2y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2y+2x+2\times 3=2\times 9,2y-x-5=15$$

सोंपें करचें.

$$2y+2x+6=18,2y-x-5=15$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2y+2x+6=18 तल्यान 2y-x-5=15 वजा करचो.

$$2y-2y+2x+x+6+5=18-15$$

-2y कडेन 2y ची बेरीज करची. अटी 2y आनी -2y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2x+x+6+5=18-15$$

x कडेन 2x ची बेरीज करची.

$$3x+6+5=18-15$$

5 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$3x+11=18-15$$

-15 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$3x+11=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 11 वजा करचें.

$$3x=-8$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{8}{3}$$

2y-x-5=15 त x खातीर -\frac{8}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2y-\left(-\frac{8}{3}\right)-5=15$$

-5 कडेन \frac{8}{3} ची बेरीज करची.

$$2y-\frac{7}{3}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{3} ची बेरीज करची.

$$2y=\frac{52}{3}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{26}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{26}{3},x=-\frac{8}{3}$$