सोडोवचें {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y+3x=56$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3x वजा करचें.

$$y=-3x+56$$

4y+x=34 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -3x+56 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

-3x+56क 4 फावटी गुणचें.

$$-12x+224+x=34$$

x कडेन -12x ची बेरीज करची.

$$-11x+224=34$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 224 वजा करचें.

$$-11x=-190$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$x=\frac{190}{11}$$

y=-3x+56 त x खातीर \frac{190}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

\frac{190}{11}क -3 फावटी गुणचें.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

-\frac{570}{11} कडेन 56 ची बेरीज करची.

$$y=\frac{46}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

y आनी 4y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

सोंपें करचें.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4y+12x=224 तल्यान 4y+x=34 वजा करचो.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

-4y कडेन 4y ची बेरीज करची. अटी 4y आनी -4y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12x-x=224-34$$

-x कडेन 12x ची बेरीज करची.

$$11x=224-34$$

-34 कडेन 224 ची बेरीज करची.

$$11x=190$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$x=\frac{190}{11}$$

4y+x=34 त x खातीर \frac{190}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{190}{11} वजा करचें.

$$4y=\frac{184}{11}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{46}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$