सोडोवचें {l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3x+y=x_{6}$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3y+x=x_{3}$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=x_{6}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+x_{6}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

-y+x_{6}क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

x+3y=x_{3} ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+x_{6}}{3} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

3y कडेन -\frac{y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{x_{6}}{3} वजा करचें.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3} त y खातीर \frac{3x_{3}-x_{6}}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24} कडेन \frac{x_{6}}{3} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3x+y=x_{6}$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3y+x=x_{3}$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3x+y=x_{6}$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3y+x=x_{3}$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

3x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

सोंपें करचें.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+y=x_{6} तल्यान 3x+9y=3x_{3} वजा करचो.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

-9y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

x+3y=x_{3} त y खातीर \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

\frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}क 3 फावटी गुणचें.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8} वजा करचें.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$