सोडोवचें {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 20 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$20x-y=320$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-y=21,20x-y=320$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-y=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$x=y+21$$

20x-y=320 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+21 बदलपी घेवचो.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

y+21क 20 फावटी गुणचें.

$$20y+420-y=320$$

-y कडेन 20y ची बेरीज करची.

$$19y+420=320$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 420 वजा करचें.

$$19y=-100$$

दोनुय कुशींक 19 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{100}{19}$$

x=y+21 त y खातीर -\frac{100}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

-\frac{100}{19} कडेन 21 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{299}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 20 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$20x-y=320$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-y=21,20x-y=320$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 20 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$20x-y=320$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-y=21,20x-y=320$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x-y=21 तल्यान 20x-y=320 वजा करचो.

$$x-20x-y+y=21-320$$

y कडेन -y ची बेरीज करची. अटी -y आनी y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$x-20x=21-320$$

-20x कडेन x ची बेरीज करची.

$$-19x=21-320$$

-320 कडेन 21 ची बेरीज करची.

$$-19x=-299$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$x=\frac{299}{19}$$

20x-y=320 त x खातीर \frac{299}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

\frac{299}{19}क 20 फावटी गुणचें.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5980}{19} वजा करचें.

$$-y=\frac{100}{19}$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{100}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$