सोडोवचें {l}{x-8y=10}{-5x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-6$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-8y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8y ची बेरीज करची.

$$x=8y+10$$

-5x+10y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 8y+10 बदलपी घेवचो.

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

8y+10क -5 फावटी गुणचें.

$$-40y-50+10y=10$$

10y कडेन -40y ची बेरीज करची.

$$-30y-50=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 ची बेरीज करची.

$$-30y=60$$

दोनुय कुशींक -30 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=8y+10 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=8\left(-2\right)+10$$

-2क 8 फावटी गुणचें.

$$x=-16+10$$

-16 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-6,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

सोंपें करचें.

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -5x+40y=-50 तल्यान -5x+10y=10 वजा करचो.

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

5x कडेन -5x ची बेरीज करची. अटी -5x आनी 5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$40y-10y=-50-10$$

-10y कडेन 40y ची बेरीज करची.

$$30y=-50-10$$

-10 कडेन -50 ची बेरीज करची.

$$30y=-60$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-5x+10y=10 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

-2क 10 फावटी गुणचें.

$$-5x-20=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 ची बेरीज करची.

$$-5x=30$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=-2$$