सोडोवचें {l}{x-4y=4}{7x-7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-4y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$x=4y+4$$

7x-7y=-14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 4+4y बदलपी घेवचो.

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

4+4yक 7 फावटी गुणचें.

$$28y+28-7y=-14$$

-7y कडेन 28y ची बेरीज करची.

$$21y+28=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 28 वजा करचें.

$$21y=-42$$

दोनुय कुशींक 21 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=4y+4 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=4\left(-2\right)+4$$

-2क 4 फावटी गुणचें.

$$x=-8+4$$

-8 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

सोंपें करचें.

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 7x-28y=28 तल्यान 7x-7y=-14 वजा करचो.

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

-7x कडेन 7x ची बेरीज करची. अटी 7x आनी -7x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-28y+7y=28+14$$

7y कडेन -28y ची बेरीज करची.

$$-21y=28+14$$

14 कडेन 28 ची बेरीज करची.

$$-21y=42$$

दोनुय कुशींक -21 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

7x-7y=-14 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

-2क -7 फावटी गुणचें.

$$7x+14=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$7x=-28$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=-2$$