सोडोवचें {l}{x-4y=27}{3x+y=-23}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 27 } \\ { 3 x + y = - 23 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-5$$

$$y=-8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-4y=27,3x+y=-23$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-4y=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$x=4y+27$$

3x+y=-23 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 4y+27 बदलपी घेवचो.

$$3\left(4y+27\right)+y=-23$$

4y+27क 3 फावटी गुणचें.

$$12y+81+y=-23$$

y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$13y+81=-23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 81 वजा करचें.

$$13y=-104$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$y=-8$$

x=4y+27 त y खातीर -8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=4\left(-8\right)+27$$

-8क 4 फावटी गुणचें.

$$x=-32+27$$

-32 कडेन 27 ची बेरीज करची.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=-8$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-4y=27,3x+y=-23$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-4\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 27+\frac{4}{13}\left(-23\right)\\-\frac{3}{13}\times 27+\frac{1}{13}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-5,y=-8$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-4y=27,3x+y=-23$$

x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3x+3\left(-4\right)y=3\times 27,3x+y=-23$$

सोंपें करचें.

$$3x-12y=81,3x+y=-23$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x-12y=81 तल्यान 3x+y=-23 वजा करचो.

$$3x-3x-12y-y=81+23$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y-y=81+23$$

-y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-13y=81+23$$

23 कडेन 81 ची बेरीज करची.

$$-13y=104$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$y=-8$$

3x+y=-23 त y खातीर -8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-8=-23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$3x=-15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=-8$$