सोडोवचें {l}{x-3y=3}{2x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-3y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$x=3y+3$$

2x+3y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 3+3y बदलपी घेवचो.

$$2\left(3y+3\right)+3y=6$$

3+3yक 2 फावटी गुणचें.

$$6y+6+3y=6$$

3y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$9y+6=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$9y=0$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x=3y+3 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\times 3,2x+3y=6$$

सोंपें करचें.

$$2x-6y=6,2x+3y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-6y=6 तल्यान 2x+3y=6 वजा करचो.

$$2x-2x-6y-3y=6-6$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y-3y=6-6$$

-3y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-9y=6-6$$

-6 कडेन 6 ची बेरीज करची.

$$-9y=0$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=0$$

2x+3y=6 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x=6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=0$$