सोडोवचें {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-3y+9=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$x-3y=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$x=3y-9$$

3x-2y+1=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -9+3y बदलपी घेवचो.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

-9+3yक 3 फावटी गुणचें.

$$9y-27-2y+1=0$$

-2y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$7y-27+1=0$$

1 कडेन -27 ची बेरीज करची.

$$7y-26=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 26 ची बेरीज करची.

$$7y=26$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{26}{7}$$

x=3y-9 त y खातीर \frac{26}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

\frac{26}{7}क 3 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

\frac{78}{7} कडेन -9 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{15}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

सोंपें करचें.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x-9y+27=0 तल्यान 3x-2y+1=0 वजा करचो.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y+2y+27-1=0$$

2y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-7y+27-1=0$$

-1 कडेन 27 ची बेरीज करची.

$$-7y+26=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 26 वजा करचें.

$$-7y=-26$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{26}{7}$$

3x-2y+1=0 त y खातीर \frac{26}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

\frac{26}{7}क -2 फावटी गुणचें.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

1 कडेन -\frac{52}{7} ची बेरीज करची.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{45}{7} ची बेरीज करची.

$$3x=\frac{45}{7}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{15}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$