सोडोवचें {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

x, z खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-29z=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 29z ची बेरीज करची.

$$x=29z+15$$

4x+3z=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 29z+15 बदलपी घेवचो.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

29z+15क 4 फावटी गुणचें.

$$116z+60+3z=-2$$

3z कडेन 116z ची बेरीज करची.

$$119z+60=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 वजा करचें.

$$119z=-62$$

दोनुय कुशींक 119 न भाग लावचो.

$$z=-\frac{62}{119}$$

x=29z+15 त z खातीर -\frac{62}{119} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

-\frac{62}{119}क 29 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

-\frac{1798}{119} कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{13}{119}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी z काडचीं.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

सोंपें करचें.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x-116z=60 तल्यान 4x+3z=-2 वजा करचो.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-116z-3z=60+2$$

-3z कडेन -116z ची बेरीज करची.

$$-119z=60+2$$

2 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$-119z=62$$

दोनुय कुशींक -119 न भाग लावचो.

$$z=-\frac{62}{119}$$

4x+3z=-2 त z खातीर -\frac{62}{119} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

-\frac{62}{119}क 3 फावटी गुणचें.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{186}{119} ची बेरीज करची.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{13}{119}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$