सोडोवचें {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x+36-3y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 36 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$x-3y=-36$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=90$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+90$$

x-3y=-36 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+90 बदलपी घेवचो.

$$-y+90-3y=-36$$

-3y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$-4y+90=-36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 90 वजा करचें.

$$-4y=-126$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{63}{2}$$

x=-y+90 त y खातीर \frac{63}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

-\frac{63}{2} कडेन 90 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{117}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x+36-3y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 36 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$x-3y=-36$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x+36-3y=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 36 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$x-3y=-36$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x+y=90 तल्यान x-3y=-36 वजा करचो.

$$x-x+y+3y=90+36$$

-x कडेन x ची बेरीज करची. अटी x आनी -x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y+3y=90+36$$

3y कडेन y ची बेरीज करची.

$$4y=90+36$$

36 कडेन 90 ची बेरीज करची.

$$4y=126$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{63}{2}$$

x-3y=-36 त y खातीर \frac{63}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

\frac{63}{2}क -3 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{189}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{117}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$