सोडोवचें {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+500$$

25x+35y=1450 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+500 बदलपी घेवचो.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

-y+500क 25 फावटी गुणचें.

$$-25y+12500+35y=1450$$

35y कडेन -25y ची बेरीज करची.

$$10y+12500=1450$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12500 वजा करचें.

$$10y=-11050$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$y=-1105$$

x=-y+500 त y खातीर -1105 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

-1105क -1 फावटी गुणचें.

$$x=1105+500$$

1105 कडेन 500 ची बेरीज करची.

$$x=1605$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1605,y=-1105$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1605,y=-1105$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x आनी 25x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 25 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

सोंपें करचें.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 25x+25y=12500 तल्यान 25x+35y=1450 वजा करचो.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

-25x कडेन 25x ची बेरीज करची. अटी 25x आनी -25x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$25y-35y=12500-1450$$

-35y कडेन 25y ची बेरीज करची.

$$-10y=12500-1450$$

-1450 कडेन 12500 ची बेरीज करची.

$$-10y=11050$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=-1105$$

25x+35y=1450 त y खातीर -1105 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

-1105क 35 फावटी गुणचें.

$$25x-38675=1450$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 38675 ची बेरीज करची.

$$25x=40125$$

दोनुय कुशींक 25 न भाग लावचो.

$$x=1605$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1605,y=-1105$$