सोडोवचें {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=250$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+250$$

\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+250 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

-y+250क \frac{1}{19} फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

\frac{y}{10} कडेन -\frac{y}{19} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{250}{19} वजा करचें.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

\frac{9}{190} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{370}{3}$$

x=-y+250 त y खातीर \frac{370}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

-\frac{370}{3} कडेन 250 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{380}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

x आनी \frac{x}{19} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{19} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

सोंपें करचें.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} तल्यान \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 वजा करचो.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

-\frac{x}{19} कडेन \frac{x}{19} ची बेरीज करची. अटी \frac{x}{19} आनी -\frac{x}{19} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

-\frac{y}{10} कडेन \frac{y}{19} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

-19 कडेन \frac{250}{19} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

-\frac{9}{190} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{370}{3}$$

\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 त y खातीर \frac{370}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{370}{3} क \frac{1}{10} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{37}{3} वजा करचें.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

दोनूय कुशीनीं 19 न गुणचें.

$$x=\frac{380}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$