सोडोवचें {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=85$$

$$y=45$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=130$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+130$$

20x+5y=1925 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+130 बदलपी घेवचो.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

-y+130क 20 फावटी गुणचें.

$$-20y+2600+5y=1925$$

5y कडेन -20y ची बेरीज करची.

$$-15y+2600=1925$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2600 वजा करचें.

$$-15y=-675$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=45$$

x=-y+130 त y खातीर 45 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-45+130$$

-45 कडेन 130 ची बेरीज करची.

$$x=85$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=85,y=45$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=85,y=45$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

x आनी 20x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 20 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

सोंपें करचें.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20x+20y=2600 तल्यान 20x+5y=1925 वजा करचो.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

-20x कडेन 20x ची बेरीज करची. अटी 20x आनी -20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$20y-5y=2600-1925$$

-5y कडेन 20y ची बेरीज करची.

$$15y=2600-1925$$

-1925 कडेन 2600 ची बेरीज करची.

$$15y=675$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=45$$

20x+5y=1925 त y खातीर 45 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$20x+5\times 45=1925$$

45क 5 फावटी गुणचें.

$$20x+225=1925$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 225 वजा करचें.

$$20x=1700$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$x=85$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=85,y=45$$