सोडोवचें {l}{x+y=100}{60x+70y=6300}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=70$$

$$y=30$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+100$$

60x+70y=6300 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+100 बदलपी घेवचो.

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

-y+100क 60 फावटी गुणचें.

$$-60y+6000+70y=6300$$

70y कडेन -60y ची बेरीज करची.

$$10y+6000=6300$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6000 वजा करचें.

$$10y=300$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$y=30$$

x=-y+100 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-30+100$$

-30 कडेन 100 ची बेरीज करची.

$$x=70$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=70,y=30$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=70,y=30$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

x आनी 60x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 60 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

सोंपें करचें.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 60x+60y=6000 तल्यान 60x+70y=6300 वजा करचो.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

-60x कडेन 60x ची बेरीज करची. अटी 60x आनी -60x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$60y-70y=6000-6300$$

-70y कडेन 60y ची बेरीज करची.

$$-10y=6000-6300$$

-6300 कडेन 6000 ची बेरीज करची.

$$-10y=-300$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=30$$

60x+70y=6300 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$60x+70\times 30=6300$$

30क 70 फावटी गुणचें.

$$60x+2100=6300$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2100 वजा करचें.

$$60x=4200$$

दोनुय कुशींक 60 न भाग लावचो.

$$x=70$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=70,y=30$$