सोडोवचें {l}{x+y=100}{0.950x+0.820y=92.5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 0.950 x + 0.820 y = 92.5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{1050}{13} = 80\frac{10}{13} \approx 80.769230769$$

$$y = \frac{250}{13} = 19\frac{3}{13} \approx 19.230769231$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+100$$

0.95x+0.82y=92.5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+100 बदलपी घेवचो.

$$0.95\left(-y+100\right)+0.82y=92.5$$

-y+100क 0.95 फावटी गुणचें.

$$-0.95y+95+0.82y=92.5$$

\frac{41y}{50} कडेन -\frac{19y}{20} ची बेरीज करची.

$$-0.13y+95=92.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 95 वजा करचें.

$$-0.13y=-2.5$$

-0.13 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{250}{13}$$

x=-y+100 त y खातीर \frac{250}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{250}{13}+100$$

-\frac{250}{13} कडेन 100 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{1050}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.82}{0.82-0.95}&-\frac{1}{0.82-0.95}\\-\frac{0.95}{0.82-0.95}&\frac{1}{0.82-0.95}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}&\frac{100}{13}\\\frac{95}{13}&-\frac{100}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}\times 100+\frac{100}{13}\times 92.5\\\frac{95}{13}\times 100-\frac{100}{13}\times 92.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1050}{13}\\\frac{250}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

x आनी \frac{19x}{20} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.95 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$0.95x+0.95y=0.95\times 100,0.95x+0.82y=92.5$$

सोंपें करचें.

$$0.95x+0.95y=95,0.95x+0.82y=92.5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.95x+0.95y=95 तल्यान 0.95x+0.82y=92.5 वजा करचो.

$$0.95x-0.95x+0.95y-0.82y=95-92.5$$

-\frac{19x}{20} कडेन \frac{19x}{20} ची बेरीज करची. अटी \frac{19x}{20} आनी -\frac{19x}{20} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$0.95y-0.82y=95-92.5$$

-\frac{41y}{50} कडेन \frac{19y}{20} ची बेरीज करची.

$$0.13y=95-92.5$$

-92.5 कडेन 95 ची बेरीज करची.

$$0.13y=2.5$$

0.13 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{250}{13}$$

0.95x+0.82y=92.5 त y खातीर \frac{250}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$0.95x+0.82\times \frac{250}{13}=92.5$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{250}{13} क 0.82 फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$0.95x+\frac{205}{13}=92.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{205}{13} वजा करचें.

$$0.95x=\frac{1995}{26}$$

0.95 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{1050}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$