सोडोवचें {l}{x+3y=-14}{-4x-3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = - 14 } \\ { - 4 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=-6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+3y=-14,-4x-3y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+3y=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x=-3y-14$$

-4x-3y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -3y-14 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-3y-14\right)-3y=2$$

-3y-14क -4 फावटी गुणचें.

$$12y+56-3y=2$$

-3y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$9y+56=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 56 वजा करचें.

$$9y=-54$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

x=-3y-14 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-3\left(-6\right)-14$$

-6क -3 फावटी गुणचें.

$$x=18-14$$

18 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=-6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+3y=-14,-4x-3y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{-3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-3-3\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-14\right)-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{4}{9}\left(-14\right)+\frac{1}{9}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=-6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+3y=-14,-4x-3y=2$$

x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-4x-4\times 3y=-4\left(-14\right),-4x-3y=2$$

सोंपें करचें.

$$-4x-12y=56,-4x-3y=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x-12y=56 तल्यान -4x-3y=2 वजा करचो.

$$-4x+4x-12y+3y=56-2$$

4x कडेन -4x ची बेरीज करची. अटी -4x आनी 4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y+3y=56-2$$

3y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-9y=56-2$$

-2 कडेन 56 ची बेरीज करची.

$$-9y=54$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

-4x-3y=2 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x-3\left(-6\right)=2$$

-6क -3 फावटी गुणचें.

$$-4x+18=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$-4x=-16$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=-6$$