सोडोवचें {l}{x+2y=7}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+2y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$x=-2y+7$$

3x-y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+7 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-2y+7\right)-y=9$$

-2y+7क 3 फावटी गुणचें.

$$-6y+21-y=9$$

-y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-7y+21=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 21 वजा करचें.

$$-7y=-12$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{12}{7}$$

x=-2y+7 त y खातीर \frac{12}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times \frac{12}{7}+7$$

\frac{12}{7}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{24}{7}+7$$

-\frac{24}{7} कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{25}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-y=9$$

सोंपें करचें.

$$3x+6y=21,3x-y=9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+6y=21 तल्यान 3x-y=9 वजा करचो.

$$3x-3x+6y+y=21-9$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+y=21-9$$

y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$7y=21-9$$

-9 कडेन 21 ची बेरीज करची.

$$7y=12$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{12}{7}$$

3x-y=9 त y खातीर \frac{12}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-\frac{12}{7}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12}{7} ची बेरीज करची.

$$3x=\frac{75}{7}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{25}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$