सोडोवचें {l}{s-t=3}{s/3+t/2=6}

$$\left. \begin{array} { l } { s - t = 3 } \\ { \frac { s } { 3 } + \frac { t } { 2 } = 6 } \end{array} \right.$$

s, t खातीर सोडोवचें

$$t=6$$

$$s=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक s वेगळावन s खातीर तें सोडोवचें.

$$s-t=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान t ची बेरीज करची.

$$s=t+3$$

\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6 ह्या दुस-या समिकरणांत s खातीर t+3 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{3}\left(t+3\right)+\frac{1}{2}t=6$$

t+3क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{3}t+1+\frac{1}{2}t=6$$

\frac{t}{2} कडेन \frac{t}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{6}t+1=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$\frac{5}{6}t=5$$

\frac{5}{6} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$t=6$$

s=t+3 त t खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी s खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$s=6+3$$

6 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$s=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$s=9,t=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{6}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां s आनी t काडचीं.

$$s=9,t=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

s आनी \frac{s}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}\left(-1\right)t=\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

सोंपें करचें.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1 तल्यान \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6 वजा करचो.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

-\frac{s}{3} कडेन \frac{s}{3} ची बेरीज करची. अटी \frac{s}{3} आनी -\frac{s}{3} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

-\frac{t}{2} कडेन -\frac{t}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{6}t=1-6$$

-6 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{6}t=-5$$

-\frac{5}{6} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$t=6$$

\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6 त t खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी s खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}\times 6=6$$

6क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{3}s+3=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$\frac{1}{3}s=3$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$s=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$s=9,t=6$$