सोडोवचें {l}{r*3x+5y+10=0}{5:3x+5y+10=0}

$$\left. \begin{array} { l } { r \cdot 3 x + 5 y + 10 = 0 } \\ { 5 : 3 x + 5 y + 10 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=-2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=-3y-6\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&r=\frac{5}{9}\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3rx+5y+10=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$3rx+5y=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$3rx=-5y-10$$

दोनुय कुशींक 3r न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3r}\left(-5y-10\right)$$

-5y-10क \frac{1}{3r} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}$$

\frac{5}{3}x+5y+10=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5\left(2+y\right)}{3r} बदलपी घेवचो.

$$\frac{5}{3}\left(\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}\right)+5y+10=0$$

-\frac{5\left(2+y\right)}{3r}क \frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{25}{9r}\right)y-\frac{50}{9r}+5y+10=0$$

5y कडेन -\frac{25y}{9r} ची बेरीज करची.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y-\frac{50}{9r}+10=0$$

10 कडेन -\frac{50}{9r} ची बेरीज करची.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y+10-\frac{50}{9r}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10-\frac{50}{9r} वजा करचें.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y=-10+\frac{50}{9r}$$

दोनुय कुशींक 5-\frac{25}{9r} न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{5}{3r}\right)\left(-2\right)-\frac{10}{3r}$$

-2क -\frac{5}{3r} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{10-10}{3r}$$

\frac{10}{3r} कडेन -\frac{10}{3r} ची बेरीज करची.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}&-\frac{5}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}&\frac{3r}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9r-5}&-\frac{3}{9r-5}\\-\frac{1}{9r-5}&\frac{9r}{5\left(9r-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9r-5}\left(-10\right)+\left(-\frac{3}{9r-5}\right)\left(-10\right)\\\left(-\frac{1}{9r-5}\right)\left(-10\right)+\frac{9r}{5\left(9r-5\right)}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3rx+5y+10=0 तल्यान \frac{5}{3}x+5y+10=0 वजा करचो.

$$3rx-\frac{5}{3}x+5y-5y+10-10=0$$

-5y कडेन 5y ची बेरीज करची. अटी 5y आनी -5y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3rx-\frac{5}{3}x+10-10=0$$

-\frac{5x}{3} कडेन 3rx ची बेरीज करची.

$$\left(3r-\frac{5}{3}\right)x+10-10=0$$

-10 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$\left(3r-\frac{5}{3}\right)x=0$$

दोनुय कुशींक 3r-\frac{5}{3} न भाग लावचो.

$$x=0$$

\frac{5}{3}x+5y+10=0 त x खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5y+10=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$5y=-10$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$