सोडोवचें {l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75}

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

p, b खातीर सोडोवचें

$$p=55$$

$$b=75$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक p वेगळावन p खातीर तें सोडोवचें.

$$p+b=130$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$p=-b+130$$

p+1.09b=136.75 ह्या दुस-या समिकरणांत p खातीर -b+130 बदलपी घेवचो.

$$-b+130+1.09b=136.75$$

\frac{109b}{100} कडेन -b ची बेरीज करची.

$$0.09b+130=136.75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 130 वजा करचें.

$$0.09b=6.75$$

0.09 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=75$$

p=-b+130 त b खातीर 75 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p=-75+130$$

-75 कडेन 130 ची बेरीज करची.

$$p=55$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=55,b=75$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां p आनी b काडचीं.

$$p=55,b=75$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून p+b=130 तल्यान p+1.09b=136.75 वजा करचो.

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

-p कडेन p ची बेरीज करची. अटी p आनी -p रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$b-1.09b=130-136.75$$

-\frac{109b}{100} कडेन b ची बेरीज करची.

$$-0.09b=130-136.75$$

-136.75 कडेन 130 ची बेरीज करची.

$$-0.09b=-6.75$$

-0.09 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=75$$

p+1.09b=136.75 त b खातीर 75 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p+1.09\times 75=136.75$$

75क 1.09 फावटी गुणचें.

$$p+81.75=136.75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 81.75 वजा करचें.

$$p=55$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=55,b=75$$