सोडोवचें {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$mx-y+1-3m=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान -3m+1 वजा करचें.

$$mx-y=3m-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$mx=y+3m-1$$

दोनुय कुशींक m न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

y+3m-1क \frac{1}{m} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

x+my-3m-1=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y-1+3m}{m} बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

my कडेन \frac{y}{m} ची बेरीज करची.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

-3m-1 कडेन 3-\frac{1}{m} ची बेरीज करची.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2-\frac{1}{m}-3m वजा करचें.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

दोनुय कुशींक m+\frac{1}{m} न भाग लावचो.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} त y खातीर \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}क \frac{1}{m} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)} कडेन 3-\frac{1}{m} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक m न गुणचें.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

सोंपें करचें.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून mx-y+1-3m=0 तल्यान mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 वजा करचो.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-mx कडेन mx ची बेरीज करची. अटी mx आनी -mx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-m^{2}y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

m\left(3m+1\right) कडेन -3m+1 ची बेरीज करची.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान -2m+1+3m^{2} वजा करचें.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

दोनुय कुशींक -1-m^{2} न भाग लावचो.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x+my-3m-1=0 त y खातीर -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}क m फावटी गुणचें.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-3m-1 कडेन -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} ची बेरीज करची.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$