सोडोवचें {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ny ची बेरीज करची.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

दोनुय कुशींक m न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

ny+m^{2}+n^{2}क \frac{1}{m} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

x+y=2m ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} बदलपी घेवचो.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y कडेन \frac{ny}{m} ची बेरीज करची.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान m+\frac{n^{2}}{m} वजा करचें.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

दोनुय कुशींक \frac{m+n}{m} न भाग लावचो.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m त y खातीर m-n बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m-nक \frac{n}{m} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m} कडेन m+\frac{n^{2}}{m} ची बेरीज करची.

$$x=m+n$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=m+n,y=m-n$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=m+n,y=m-n$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक m न गुणचें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

सोंपें करचें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} तल्यान mx+my=2m^{2} वजा करचो.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx कडेन mx ची बेरीज करची. अटी mx आनी -mx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my कडेन -ny ची बेरीज करची.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2} कडेन m^{2}+n^{2} ची बेरीज करची.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

दोनुय कुशींक -m-n न भाग लावचो.

$$y=m-n$$

x+y=2m त y खातीर m-n बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+m-n=2m$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान m-n वजा करचें.

$$x=m+n$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ny ची बेरीज करची.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

दोनुय कुशींक m न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

ny+m^{2}+n^{2}क \frac{1}{m} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

x+y=2m ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} बदलपी घेवचो.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y कडेन \frac{ny}{m} ची बेरीज करची.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान m+\frac{n^{2}}{m} वजा करचें.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

दोनुय कुशींक \frac{m+n}{m} न भाग लावचो.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m त y खातीर m-n बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m-nक \frac{n}{m} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m} कडेन m+\frac{n^{2}}{m} ची बेरीज करची.

$$x=m+n$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=m+n,y=m-n$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=m+n,y=m-n$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक m न गुणचें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

सोंपें करचें.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} तल्यान mx+my=2m^{2} वजा करचो.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx कडेन mx ची बेरीज करची. अटी mx आनी -mx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my कडेन -ny ची बेरीज करची.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2} कडेन m^{2}+n^{2} ची बेरीज करची.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

दोनुय कुशींक -m-n न भाग लावचो.

$$y=m-n$$

x+y=2m त y खातीर m-n बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+m-n=2m$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान m-n वजा करचें.

$$x=m+n$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=m+n,y=m-n$$