सोडोवचें {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=-1$$

$$n=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$m+2n=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2n वजा करचें.

$$m=-2n+5$$

-2m+n+2=7 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर -2n+5 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

-2n+5क -2 फावटी गुणचें.

$$4n-10+n+2=7$$

n कडेन 4n ची बेरीज करची.

$$5n-10+2=7$$

2 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$5n-8=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$5n=15$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$n=3$$

m=-2n+5 त n खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=-2\times 3+5$$

3क -2 फावटी गुणचें.

$$m=-6+5$$

-6 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$m=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-1,n=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=-1,n=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

m आनी -2m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

सोंपें करचें.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2m-4n=-10 तल्यान -2m+n+2=7 वजा करचो.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

2m कडेन -2m ची बेरीज करची. अटी -2m आनी 2m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4n-n-2=-10-7$$

-n कडेन -4n ची बेरीज करची.

$$-5n-2=-10-7$$

-7 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$-5n-2=-17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$-5n=-15$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$n=3$$

-2m+n+2=7 त n खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2m+3+2=7$$

2 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$-2m+5=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$-2m=2$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$m=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-1,n=3$$