सोडोवचें {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$fx-y=7$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$fy-9x=8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$fx-y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$fx=y+7$$

दोनुय कुशींक f न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

y+7क \frac{1}{f} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

-9x+fy=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7+y}{f} बदलपी घेवचो.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

\frac{7+y}{f}क -9 फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy कडेन -\frac{9y}{f} ची बेरीज करची.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{63}{f} ची बेरीज करची.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

दोनुय कुशींक f-\frac{9}{f} न भाग लावचो.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} त y खातीर \frac{63+8f}{f^{2}-9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9}क \frac{1}{f} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} कडेन \frac{7}{f} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$fx-y=7$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$fy-9x=8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$fx-y=7$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$fy-9x=8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx आनी -9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक f न गुणचें.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

सोंपें करचें.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \left(-9f\right)x+9y=-63 तल्यान \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f वजा करचो.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx कडेन -9fx ची बेरीज करची. अटी -9fx आनी 9fx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f कडेन -63 ची बेरीज करची.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

दोनुय कुशींक -f^{2}+9 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 त y खातीर -\frac{63+8f}{9-f^{2}} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}}क f फावटी गुणचें.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ची बेरीज करची.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$fx-y=7$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$fy-9x=8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$fx-y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$fx=y+7$$

दोनुय कुशींक f न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

y+7क \frac{1}{f} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

-9x+fy=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7+y}{f} बदलपी घेवचो.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

\frac{7+y}{f}क -9 फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy कडेन -\frac{9y}{f} ची बेरीज करची.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{63}{f} ची बेरीज करची.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

दोनुय कुशींक f-\frac{9}{f} न भाग लावचो.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} त y खातीर \frac{63+8f}{f^{2}-9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9}क \frac{1}{f} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} कडेन \frac{7}{f} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$fx-y=7$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$fy-9x=8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$fx-y=7$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$fy-9x=8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx आनी -9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक f न गुणचें.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

सोंपें करचें.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \left(-9f\right)x+9y=-63 तल्यान \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f वजा करचो.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx कडेन -9fx ची बेरीज करची. अटी -9fx आनी 9fx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f कडेन -63 ची बेरीज करची.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

दोनुय कुशींक -f^{2}+9 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 त y खातीर -\frac{63+8f}{9-f^{2}} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}}क f फावटी गुणचें.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ची बेरीज करची.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$