सोडोवचें {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$cx+y=69$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$cx=-y+69$$

दोनुय कुशींक c न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

-y+69क \frac{1}{c} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

2x+y=87 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{69-y}{c} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

\frac{69-y}{c}क 2 फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

y कडेन -\frac{2y}{c} ची बेरीज करची.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{138}{c} वजा करचें.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

दोनुय कुशींक \frac{-2+c}{c} न भाग लावचो.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c} त y खातीर \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}क -\frac{1}{c} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

-\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)} कडेन \frac{69}{c} ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून cx+y=69 तल्यान 2x+y=87 वजा करचो.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$cx-2x=69-87$$

-2x कडेन cx ची बेरीज करची.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

-87 कडेन 69 ची बेरीज करची.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

दोनुय कुशींक c-2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87 त x खातीर -\frac{18}{c-2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

-\frac{18}{c-2}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{36}{c-2} ची बेरीज करची.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$