सोडोवचें {l}{ax+y+1=0}{x+y-a=0}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + y + 1 = 0 } \\ { x + y - a = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

$$a\neq 1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$ax+y+1=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$ax+y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$ax=-y-1$$

दोनुय कुशींक a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{a}\left(-y-1\right)$$

-y-1क \frac{1}{a} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}$$

x+y-a=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{1+y}{a} बदलपी घेवचो.

$$\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}+y-a=0$$

y कडेन -\frac{y}{a} ची बेरीज करची.

$$\frac{a-1}{a}y-\frac{1}{a}-a=0$$

-a कडेन -\frac{1}{a} ची बेरीज करची.

$$\frac{a-1}{a}y-a-\frac{1}{a}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान -\frac{1}{a}-a वजा करचें.

$$\frac{a-1}{a}y=a+\frac{1}{a}$$

दोनुय कुशींक \frac{-1+a}{a} न भाग लावचो.

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a} त y खातीर \frac{a^{2}+1}{-1+a} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)\times \frac{a^{2}+1}{a-1}-\frac{1}{a}$$

\frac{a^{2}+1}{-1+a}क -\frac{1}{a} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{a^{2}+1}{a\left(a-1\right)}-\frac{1}{a}$$

-\frac{a^{2}+1}{a\left(-1+a\right)} कडेन -\frac{1}{a} ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}&-\frac{1}{a-1}\\-\frac{1}{a-1}&\frac{a}{a-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}\left(-1\right)+\left(-\frac{1}{a-1}\right)a\\\left(-\frac{1}{a-1}\right)\left(-1\right)+\frac{a}{a-1}a\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a+1}{a-1}\\\frac{a^{2}+1}{a-1}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून ax+y+1=0 तल्यान x+y-a=0 वजा करचो.

$$ax-x+y-y+1+a=0$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$ax-x+1+a=0$$

-x कडेन ax ची बेरीज करची.

$$\left(a-1\right)x+1+a=0$$

a कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$\left(a-1\right)x+a+1=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1+a वजा करचें.

$$\left(a-1\right)x=-\left(a+1\right)$$

दोनुय कुशींक a-1 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

x+y-a=0 त x खातीर -\frac{1+a}{a-1} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-\frac{a+1}{a-1}+y-a=0$$

-a कडेन -\frac{1+a}{a-1} ची बेरीज करची.

$$y-\frac{a^{2}+1}{a-1}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1+a^{2}}{a-1} ची बेरीज करची.

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$