सोडोवचें {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$ax+by=c$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान by वजा करचें.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

दोनुय कुशींक a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

-by+cक \frac{1}{a} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

a^{2}x+b^{2}y=c ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-by+c}{a} बदलपी घेवचो.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

\frac{-by+c}{a}क a^{2} फावटी गुणचें.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

b^{2}y कडेन -bay ची बेरीज करची.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ca वजा करचें.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

दोनुय कुशींक b\left(-a+b\right) न भाग लावचो.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} त y खातीर \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}क -\frac{b}{a} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a} कडेन \frac{c}{a} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax आनी a^{2}x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक a^{2} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक a न गुणचें.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

सोंपें करचें.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} तल्यान a^{3}x+ab^{2}y=ac वजा करचो.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-a^{3}x कडेन a^{3}x ची बेरीज करची. अटी a^{3}x आनी -a^{3}x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-ab^{2}y कडेन a^{2}by ची बेरीज करची.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

-ac कडेन a^{2}c ची बेरीज करची.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

दोनुय कुशींक ab\left(a-b\right) न भाग लावचो.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=c त y खातीर \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

\frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}क b^{2} फावटी गुणचें.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} वजा करचें.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

दोनुय कुशींक a^{2} न भाग लावचो.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$