सोडोवचें {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$Ax+By=C$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान By वजा करचें.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

दोनुय कुशींक A न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

-By+Cक \frac{1}{A} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Dx+Cy=F ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-By+C}{A} बदलपी घेवचो.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

\frac{-By+C}{A}क D फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Cy कडेन -\frac{DBy}{A} ची बेरीज करची.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{DC}{A} वजा करचें.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

दोनुय कुशींक C-\frac{DB}{A} न भाग लावचो.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} त y खातीर \frac{FA-DC}{CA-DB} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

\frac{FA-DC}{CA-DB}क -\frac{B}{A} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} कडेन \frac{C}{A} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax आनी Dx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक D न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक A न गुणचें.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

सोंपें करचें.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून ADx+BDy=CD तल्यान ADx+ACy=AF वजा करचो.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-DAx कडेन DAx ची बेरीज करची. अटी DAx आनी -DAx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-ACy कडेन DBy ची बेरीज करची.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

दोनुय कुशींक DB-AC न भाग लावचो.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=F त y खातीर \frac{DC-AF}{DB-AC} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

\frac{DC-AF}{DB-AC}क C फावटी गुणचें.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} वजा करचें.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

दोनुय कुशींक D न भाग लावचो.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$