सोडोवचें {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$9x-3y-13=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 13 ची बेरीज करची.

$$9x-3y=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$9x=3y+13$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

3y+13क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

2x+y-4=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{3}+\frac{13}{9} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

\frac{y}{3}+\frac{13}{9}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

y कडेन \frac{2y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

-4 कडेन \frac{26}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

\frac{5}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9} त y खातीर \frac{2}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{2}{3} क \frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{2}{9} क \frac{13}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{5}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

सोंपें करचें.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x-6y-26=0 तल्यान 18x+9y-36=0 वजा करचो.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y-9y-26+36=0$$

-9y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-15y-26+36=0$$

36 कडेन -26 ची बेरीज करची.

$$-15y+10=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$-15y=-10$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{2}{3}$$

2x+y-4=0 त y खातीर \frac{2}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

-4 कडेन \frac{2}{3} ची बेरीज करची.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{3} ची बेरीज करची.

$$2x=\frac{10}{3}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{5}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$