सोडोवचें {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=9$$

$$y=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$9x+y=88$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$9x=-y+88$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

-y+88क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

7x-8y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+88}{9} बदलपी घेवचो.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

\frac{-y+88}{9}क 7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

-8y कडेन -\frac{7y}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{616}{9} वजा करचें.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

-\frac{79}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=7$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9} त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

7क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{7}{9} क \frac{88}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=9,y=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

9x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

सोंपें करचें.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 63x+7y=616 तल्यान 63x-72y=63 वजा करचो.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

-63x कडेन 63x ची बेरीज करची. अटी 63x आनी -63x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$7y+72y=616-63$$

72y कडेन 7y ची बेरीज करची.

$$79y=616-63$$

-63 कडेन 616 ची बेरीज करची.

$$79y=553$$

दोनुय कुशींक 79 न भाग लावचो.

$$y=7$$

7x-8y=7 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x-8\times 7=7$$

7क -8 फावटी गुणचें.

$$7x-56=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 56 ची बेरीज करची.

$$7x=63$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=7$$