सोडोवचें {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$9x+7y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$9x=-7y+6$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

-7y+6क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

8x+3y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} बदलपी घेवचो.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

-\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}क 8 फावटी गुणचें.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

3y कडेन -\frac{56y}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{16}{3} वजा करचें.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

-\frac{29}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{33}{29}$$

x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3} त y खातीर -\frac{33}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{33}{29} क -\frac{7}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{77}{87} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{45}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

9x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

सोंपें करचें.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 72x+56y=48 तल्यान 72x+27y=81 वजा करचो.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

-72x कडेन 72x ची बेरीज करची. अटी 72x आनी -72x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$56y-27y=48-81$$

-27y कडेन 56y ची बेरीज करची.

$$29y=48-81$$

-81 कडेन 48 ची बेरीज करची.

$$29y=-33$$

दोनुय कुशींक 29 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{33}{29}$$

8x+3y=9 त y खातीर -\frac{33}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

-\frac{33}{29}क 3 फावटी गुणचें.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{99}{29} ची बेरीज करची.

$$8x=\frac{360}{29}$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{45}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$